Spurpunkte Berechnen Beispiel Essay

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Spurpunkte

In diesem Kapitel beschäftigen wir uns mit den Spurpunkten.

Unter einem Spurpunkt versteht man den Schnittpunkt einer Geraden mit einer Koordinatenebene.

Dieses Thema besprechen wir anhand eines ausführlichen Beispiels:

Gegeben ist eine Geradengleichung in Parameterform

\[\text{g: } \vec{x} = \vec{a} + \lambda \cdot \vec{u}\]

Gesucht sind die Spurpunkte der Geraden. Da es im dreidimensionalen Raum drei Koordinatenebenen gibt (\(x_2x_3\), \(x_1x_3\) und \(x_1x_2\)), lassen sich drei Spurpunkte berechnen.

  • \(S_1\) ist der Schnittpunkt von Gerade und \(x_2x_3\)-Ebene
  • \(S_2\) ist der Schnittpunkt von Gerade und \(x_1x_3\)-Ebene
  • \(S_3\) ist der Schnittpunkt von Gerade und \(x_1x_2\)-Ebene

Beispiel: Spurpunkte berechnen

Gegeben ist die Gerade g

\[\text{g: } \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ -4 \\ 4 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}\]

Unsere Aufgabe ist es, alle Spurpunkte zu berechnen.

Vorgehensweise: Spurpunkt \(S_i\) berechnen

  1. i-te Koordinate der Geradengleichung gleich Null setzen und den dazugehörigen Parameter \(\lambda\) berechnen
  2. \(\lambda\) in die Geradengleichung einsetzen, um die Koordinaten des Spurpunktes zu erhalten

Spurpunkt \(S_1\) berechnen

Der Spurpunkt \(S_1\) ist der Schnittpunkt der Geraden mit der \(x_2x_3\)-Ebene.

Die \(x_1\)-Koordinate von \(S_1\) ist gleich Null: \(S_1\)(0/?/?).

1.) \(x_1 = 0\) in die erste Zeile der Geradengleichung einsetzen, um \(\lambda\) zu berechnen

\[1 + \lambda = 0 \qquad \rightarrow \qquad \lambda = -1\]

2.) \(\lambda\) in die Geradengleichung einsetzen, um den Spurpunkt zu berechnen

\[\text{g: } \vec{s_1} = \begin{pmatrix} 1 \\ -4 \\ 4 \end{pmatrix} -1 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ -6 \\ 5 \end{pmatrix}\]

Antwort: Der Spurpunkt \(S_1\) hat die Koordinaten (0/-6/5).

Spurpunkt \(S_2\) berechnen

Der Spurpunkt \(S_2\) ist der Schnittpunkt der Geraden mit der \(x_1x_3\)-Ebene.

Die \(x_2\)-Koordinate von \(S_2\) ist gleich Null: \(S_2\)(?/0/?).

1.) \(x_2 = 0\) in die zweite Zeile der Geradengleichung einsetzen, um \(\lambda\) zu berechnen

\[-4 + 2\lambda = 0 \qquad \rightarrow \qquad \lambda = 2\]

2.) \(\lambda\) in die Geradengleichung einsetzen, um den Spurpunkt zu berechnen

\[\text{g: } \vec{s_2} = \begin{pmatrix} 1 \\ -4 \\ 4 \end{pmatrix} + 2 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}\]

Antwort: Der Spurpunkt \(S_2\) hat die Koordinaten (3/0/2).

Spurpunkt \(S_3\) berechnen

Der Spurpunkt \(S_3\) ist der Schnittpunkt der Geraden mit der \(x_1x_2\)-Ebene.

Die \(x_3\)-Koordinate von \(S_3\) ist gleich Null: \(S_3\)(?/?/0).

1.) \(x_3 = 0\) in die dritte Zeile der Geradengleichung einsetzen, um \(\lambda\) zu berechnen

\[4 - \lambda = 0 \qquad \rightarrow \qquad \lambda = 4\]

2.) \(\lambda\) in die Geradengleichung einsetzen, um den Spurpunkt zu berechnen

\[\text{g: } \vec{s_3} = \begin{pmatrix} 1 \\ -4 \\ 4 \end{pmatrix} + 4 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix}\]

Antwort: Der Spurpunkt \(S_3\) hat die Koordinaten (5/4/0).

Mehr zum Thema Geraden

Im Folgenden findest du eine Übersicht über alle Artikel zum Thema Geraden in der analytischen Geometrie, die derzeit verfügbar sind.

Ein Spurpunkt ist der Schnittpunkt einer Geraden oder Ebene mit einer Koordinatenebene (also der x1x2-, der x2x3- oder der x1x3-Ebene). Je zwei Spurpunkte legen eine Spurgerade fest. Die von den drei Spurgeraden begrenzte Figur wird manchmal Spurdreieck genannt. Der Abstand zwischen Spurpunkt und Nullpunkt (Koordinatenursprung) wird manchmal wie am Achsenkreuzin der AnalysisAchsenabschnitt genannt.

Beispiel für eine Gerade:

\(g : \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ -2 \end{pmatrix} \ ( \lambda \in \mathbb{R})\)

Der Spurpunkt S1 (\(x_1 = 1 + \lambda\)) liegt in der x2x3-Ebene \(( x_1 = 0)\), also ist \(1 + \lambda = 0 \Leftrightarrow \lambda = -1.\) Einsetzen von \(\lambda = -1\) in die Geradengleichung ergibt den Spurpunkt \(S_1 (0|2|6).\)

Entsprechend gilt für S2x2 = 0, also \(1 - \lambda = 0 \Leftrightarrow \lambda = 1\) und man bekommt den Spurpunkt \(S_2 (2|0|2)\) und S3(3|–1|0).

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